mtk 2

LOGIKA MATEMATIKA
• Ingkaran, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, Biimplikasi
Tabel Kebenaran :
p q ~ p ~ q p∨ q p∧ q  p→q p⇔ q
B B S S B B B B
B S S B B S S S
S B B S B S B S
S S B B S S B B
Keterangan :
1. ~ p  = ingkaran/negasi dari p  
      ~ q  = ingkaran/negasi dari q
2.  p∨ q = Disjungsi
     Bernilai Benar jika ada yang benar (jika salah satu dari p dan q benar atau kedua-duanya benar)
3.  p∧ q = Konjungsi
     Bernilai salah jika ada yang salah (jika salah satu dari p dan q salah atau kedua-duanya salah)
4.  p→q = Implikasi
     Bernilai salah jika  p benar dan q salah (jika tidak memenuhi kriteria ini nilainya benar)
 
5 . p⇔ q = Biimplikasi
     Bernilai benar jika p dan q kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah  
    (kedua-duanya mempunyai nilai yang sama)
  Ingkaran/negasi
Pernyataan Ingkaran/Negasinya
p∨ q ~p  ∧ ~q
p∧ q ~p ∨ ~q
p→q   p ∧ ~q
p⇔ q  (p ∧ ~q)∨ (q∧ ~p) SMA - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
• Konvers, Invers, Kontraposisi
p q ~ p
Negasi
~ q
Negasi
p→q      
Implikasi
q→p
Konvers
~p→~q
Invers
~q→~p
Kontraposisi
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
                                                                     
                                                           Ekuivalen (sama)
Ekuivalensi : p→q = ~q→~p = ~p ∨ q
                                                   
Ingkaran/negasi
Pernyataan Ingkaran/Negasinya
  p→q  p ∧ ~q
  q→p  q ∧ ~p
~p→~q  ~p  ∧ ~q
~q→~p  ~p  ∧  q
Negasi kalimat berkuantor :
~(semua p)                = ada/beberapa  ~p
~(ada/beberapa p)     = semua ~p
Penarikan Kesimpulan :
             
1. Modus Ponens                 2  Modus Tollens                  3. Modus Sillogisme        
      p→q   (Benar)                     p→q   (Benar)                      p→q   (Benar)
             p   (Benar)                           ~q   (Benar)                     q→r   (Benar)    
       ∴  q    (Benar)                      ∴ ~p  (Benar)                  ∴p→r   (Benar)
       
                                           SMA - 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Contoh Soal :
1. Ingkaran dari (p∧ q) → r  adalah :
Jawab :
Dari table di atas didapatkan    p→q  ingkarannya  p  ∧ ~q
Anggap   (p∧ q) = p  Æ tidak berubah
                      r   = q   Æ ~q = ~r
 
   sehingga ingkaran dari (p ∧ q) → r  adalah  p∧ q ∧ ~ r
2. Negasi dari pernyataan  “ Jika Budi belajar, maka ia lulus” adalah :
A. Jika Budi lulus, maka ia belajar
B. Jika Budi tidak lulus, maka ia tidak belajar
C. Jika Budi tidak belajar, maka ia tidak lulus
D. Budi belajar dan ia tidak lulus
E. Budi tidak belajar tetapi ia lulus
Jawab:
Pernyataannya sama dengan no 1 di atas
p→q  ingkarannya  p ∧ ~q
→ = ⇒ = identik dengan kata “ maka “
       ∧ = identik dengan kata “dan” , “tetapi”, “walaupun”, “meskipun”, ”hanya saja”
p = Budi belajar
q = lulus  Æ  ~q = tidak lulus
p ∧ ~q  =  Budi belajar dan  ia tidak lulus  Æ D
3. Diberikan premis-premis berikut :
1. Jika saya belajar matematika maka saya lulus ujian
2. saya tidak lulus ujian
Kesimpulan dari pernyataan tersebut :
A. Saya belajar matematika
B. Saya tidak belajar matematika
C. Saya tidak belajar matematika tetapi tetap tidak bisa
D. Saya tidak belajar tetapi lulus ujian
E. Saya tidak belajar matematika dan lulus ujian SMA - 4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Jawab :
 p  = saya belajar matematika
~p = saya tidak belajar mateamtika
 q  = saya lulus ujian
~q = saya tidak lulus ujian
premis 1 : Jika saya belajar matematika maka saya lulus ujian :   p ⇒ q
            premis 2 : Saya tidak lulus ujian                                                            ~q     Æ Modus Tollens
                                                                  Kesimpulan            ∴   ~p
Maka kesimpulannya = ~p = saya tidak belajar matematika Æ  B
4. Negasi dari pernyataan “Beberapa siswa tidak mengikuti upacara” adalah:
A. Ada siswa yang mengikuti upacara
B. Ada siswa yang tidak mengikuti upacara
C. Semua siswa mengikuti upacara
D. Semua siswa tidak mengikuti upacara
E. Beberapa siswa mengikuti upacara
Jawab:
Lihat teori sebelumnya:
 Negasi kalimat berkuantor :
1.  ~(semua p)                = ada/beberapa  ~p
2. ~(ada/beberapa p)     = semua ~p
Soal no. 4 memenuhi teori  2  Æ jawabannya adalah semua ~p
Step 1 : misal :  p = tidak mengikuti upacara maka  ~p = mengikuti upacara
Step 2 : ada/beberapa ingkarannya adalah semua
Sehingga jawabannya adalah = semua ~p = semua siswa mengikuti upacara Æ C

matematika 1

#2. Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi

Saudara mahasiswa, pada materi ini, saudara akan memperoleh materi mengenai operasi dalam logika. Seharusnya ada empat operasi logika, namun untuk satu materi ini cukuplah dua dulu untuk kemudian dapat saudara lanjutkan pada materi berikutnya.

Referensi

1. Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

Pada pernyataan dapat dilakukan operasi. Jika operasi itu dikenakan pada satu pernyataan, maka operasinya disebut operasi uner, sedangkan bila dikenakan pada beberapa pernyataan disebut operasi biner.

Bentuk dari operasi logika matematika sebagai berikut

Ingkaran/Negasi.Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda "~" .atau "¬". Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca "tidak benar bahwa p" atau "non p" atau "negasi dari p".

Contoh (1)
p: Jakarta ibu kota negara R I.
~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Negara RI.
~p: Jakarta bukan ibu kota negara R I.

Contoh (2)
q: 2 + 5 = 10.
~q: Tidak benar bahwa 2 + 5 = 10.
~q: 2 + 5 tidak sama dengan 10.

Contoh (3)
r: 2 > 5 .
~r: Tidak benar bahwa 2 > 5 .
~r: 2 < 5 .

Tabel Nilai kebenaran ingkaran:



atau



Catatan:
Jika pernyataan semula bernilai benar (B) maka ingkarannya bernilai salah (S) dan sebaliknya.


Konjungsi:

Operasi konjungsi merupakan operasi biner yang dilambangkan "∧" dan dibaca "dan". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan "p ∧ q" dibaca "p dan q".

Tabel nilai kebenaran konjungsi sebagai berikut:



atau



Catatan:

Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa konjungsi bernilai benar (B) jika kedua komponen penyusunnya bernilai benar(B), jika tidak demikian maka konjungsi bernilai salah (S).
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut:



Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus hanya bisa terhubung jika saklar p maupun q tertutup.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:

1. Jakarta ibu kota RI dan Tugu Muda terletak di kota Semarang.
2. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang dan 6 + 4 = 11
3. (sin x = 1+ cos2x) dan jumlah sudut dalam segitiga 360.

Penyelesaian:

(1) Kalimat bernilai benar karena kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar.
(2) Kalimat bernilai salah karena salah satu pernyataan penyusunnya bernilai salah.
(3) Kalimat bernilai salah karena salah kedua pernyataan penyusunnya bernilai salah.

Disjungsi.

Operasi konjungsi merupakan operasi binar yang dilambangkan "V" dan dibaca "atau". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan" p V q" dibaca "p atau q".

Tabel nilai kebenaran disjungsi sebagai berikut:



atau



Catatan:
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa disjungsi bernilai salah (S) jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah (S), jika tidak demikian maka disjungsi bernilai benar (B).
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar di bawah.



Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus tidak bisa terhubung jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan yang berikut:

1. Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 atau Megawati Wakil presiden RI yang ke4
2. 3 + 4 = 5 atau 5 bukan bilangan prima.

Penyelesaian:

1. Benar karena Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 bernilai benar.
2. Salah karena kedua komponennya bernilai salah.

Disjungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.

Disjungsi inklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu bernilai salah, sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai salah.

Contoh:
p: Pak Budi orang kaya.
q: Pak Budi rajin bekerja.
p ∨ q: Pak Budi orang kaya atau rajin bekerja.

Di sini mempunyai dua pengertian:
(1) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi tidak keduanya.
(2) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi mungkin juga keduanya.

Tabel nilai kebenaran disjungsi inklusif sebagai berikut:



atau




Disjungsi eksklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah pernyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika salahsatu bernilai salah (S) atau salah satu bernilai (B), sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai benar (B) atau keduanya bernilai salah (S).

Contoh :
p : Joni naik pesawat terbang.
q : Joni naik kapal laut.
p ∨ q : Joni naik pesawat terbang atau kapal laut.

Dalam contoh tersebut, Joni hanya naik pesawat terbang saja atau kapal laut saja, dan tidak mungkin naik pesawat terbang dan sekaligus naik kapal laut.

Tabel nilai kebenaran disjungsi eksklusif sebagai berikut:



atau

#4. Ingkaran dari Operasi Logika

Assalamu'alaikum wr.wb.

Materi berikutnya adalah Ingkaran dari operasi logika matematika. Mohon agar dapat diperhatikan. Materi ini sangat saudara perlukan dalam kaitannya dengan mata kuliah Analisis Real, kalkulus dan aljabar. Terutama pada saat pembuktiak reductio ad absordum. Silahkan saudara pahami sebentar untuk kemudian didiskusikan dengan rekan.

Referensi

1. Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

(1) Ingkaran dari Konjungsi.
Untuk menentukan ingkaran dari konjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:



Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

1. 10 adalah bilangan asli dan 10 habis dibagi 5.
2. 3 adalah faktor dari 8 dan 3 adalah bilangan prima.
3. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang dan Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
4. Hari ini hujan dan air sungai meluap.

Penyelesaian:

1. 10 tidak bilangan asli atau 10 tidak habis dibagi 5.
2. 3 tidak faktor dari 8 atau 3 tidak bilangan prima.
3. Gedung lawang sewu tidak terletak di kota Semarang atau Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.
4. Hari ini tidak hujan atau air sungai tidak meluap.

(2) Ingkaran dari Disjungsi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari disjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:



Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

1. 10 adalah bilangan asli atau 10 habis dibagi 5.
2. 3 adalah faktor dari 8 atau 3 adalah bilangan prima.
3. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang atau Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
4. Hari ini hujan atau air sungai meluap.

Jawab:

1. 10 tidak bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5.
2. 3 tidak faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima.
3. Gedung lawang sewu tidak terletak di kota Semarang dan Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.
4. Hari ini tidak hujan dan air sungai tidak meluap.

(3) Ingkaran dari Implikasi.
Untuk menentukan ingkaran dari implikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:



Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

1. Jika 10 adalah bilangan asli maka 10 habis dibagi 5.
2. Jika 3 adalah faktor dari 8 maka 3 adalah bilangan prima.
3. Jika 4 + 6 > 10 maka harimau bintang buas.
4. Jika hari ini hujan maka air sungai meluap.

Penyelesaian:

1. 10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 .
2. 3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima
3. 4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas .
4. Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap.

(4) Ingkaran dari Biimplikasi.Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari biimplikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:




Dalam membuat tabel kebenaran yang perlu diperhatkan adalah semua proposisi yang dibutuhkan diusahakan dibuat:

Contoh:

Buatlah tabel kebenaran dari {(p ∨ ~r) ∧ q} ⇔ (~q ⇒ r)

Penyelesaian :



Contoh:

Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

1. 10 adalah bilangan asli jika dan hanya jika 10 habis dibagi 5.
2. 3 adalah faktor dari 8 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan prima.
3. 4 + 6 > 10 jika dan hanya jika harimau binatang buas.
4. Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai meluap.

Penyelesaian:

1. Tulis:
   p: 10 adalah bilangan asli
   q: 10 tidak habis dibagi 5.
   Jelas ¬(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p).
   Jadi ¬(p ⇔ q) ≡ 10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 atau 10 habis dibagi r dan 10 bukan bilangan asli.
2. 3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima dan 3 tidah faktor dari 8.
3. 4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas atau harimau binatang buas dan 4 + 6 ≤ 10.
4. Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap atau air sungai meluap dan hari ini tidak hujan.

Tugas 3.Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut :

1. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°
2. Melalui dua buah titik dapat dibuat sebuah garis lurus.
3. Dua garis sejajar tidak mungkin berpotongan. .
4. 114 habis dibagi dengan 4.
5. Sudut 91 derajat adalah sudut sudut tumpul.
6. x bilangan negatif ditulis x <>

Tentukan nilai kebenaran dari pernyatakan berikut:

1. 3 adalah factor dari 113 dan 2 bukan bilangan prima.
2. Sin²x + cos²x = 1 dan Gedung lawang sewu terletak di Semarang.
3. Tahun 2000 merupakan tahun kabisat atau Indonesia merupakan negara agraris.
4. 7+ 8 = 15 atau 15 adalah bilangan prima.
5. Jika Indonesia anggota PBB maka Indonesia anggota OPEC.
6. Jika Jika 3 x 2 > 9 maka ²log 8 = 4.
7. Jika 5 adalah factor dari 125 maka 20 habis dibagi 5.
8. Bangun ABCD merupakan bujur sangkar jika dan hanya jika ABCD persegi.
9. Akar-akar persamaan kuadrat mrupakan bilangan riil jika dan hanya jika Diskriminannya lebih besar nol.
10. 5 bilangan genap jika dan hanya jika 52 = 30.

Jika p pernyataan yang bernilai benar dan q pernyataan yang bernilai salah, tentukanlah nilai kebenaran proposisi berikut ini:
(a) ~p ∧ q
(b) ~p ∧ ~q
(c) p ∨ ~q
(d) ~p ∨ ~q
(e) (p ∧ ~q) ∨ (~p ∨ q)
(f) (~p ∨ ~q) ∧ (~p ∧ ~q)
(g) (~p ⇒ q) ∧ (~p ∧ ~q)
(h) (~p ∧ q) ⇒ (~p ⇒ ~q)
(i) (p ⇔ ~q) V (~p ⇒ ~q)
(j) ~(~p ⇒ q) ⇔ (p ∨ ~q)

Buatlah tabel kebenaran proposisi untuk pertanyaan soal berikut ini:

(a) (~p ∧ q) ∨ (p ∨ ~q)
(b) (~p ∧ q) ⇒ (p ⇒ ~q)
(c) (p ⇔ q) ∨ (~p ⇒ ~q)
(d) (p ∨ ~q) ⇔ ( ~p ∧ r)
(e) (~p ∨ r) ⇒ (q ⇔ ~r)
(f) {(p ⇒ ~r) ∨ q} ⇔ {(~p ∨ ~q) ⇔ r}

Jika nilai kebenaran suatu proposisi adalah benar semua maka disebut tautology sedang jika diperoleh nilai salah semua disebut kontradiksi.

Selidikilah dengan membuat tabel kebenaran terlebih dahulu proposisi berikut ini merupakan tautologi atau merupakan kontradiksi.

(a) p ⇒ ( p ∨ q )
(b) ( p ∧ q ) ∧ ~( p ⇒ q )
(c) ( p ∧ q ) ⇒ p
(d) ~p ∧ ~( p ⇒ q )
(e) q ⇒ ( p ∨ q )
(f) {( p ⇒ q ) ∧ p} ⇒ q
(g) {( p ⇒ q ) ∧ ~q} ⇒ ~p
(h) {( p ⇒ q ) ∧( q ⇒ r )} ⇒ ( p ⇒ r )

Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut:

(a) Indonesia merupakan negara agraris dan maritim.
(b) Temanduduk saya anak yang pemalu atau pendiam.
(c) 2x + 4 = 12 atau 6 + 5 > 10
(d) cos2x = 1 – 2sin²x dan 5 + 6x ≤ 17
(e) Saya berangkat sekolah naik Bus kota dan harus membayar.
(f) x² – 2x – 8 = 0 atau x = 4 atau x = -2

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut:

(a) Jika sin²x + cos²x = 1, maka Jakarta ibukota RI
(b) Jika 2 + 4 = 6, maka 2 x 4 = 8
(c) Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai itu meluap
(d) Jika segiempat itu bujur sangkar, maka sisinya sama panjang dan sudut sudutnya 90°
(e) Segitiga ABC samakaki jika dan hanya jika sudut alasnya sama besar.
(f) Jika harga minyak naik maka harga semua barang naik
(g) Semua siswa naik kelas jika dan hanya jika semua siswa bergembira
(h) AC tegak lurus BD jika dan hanya jika ABCD layang-layang
(i) Jika petani menanam padi maka harga beras turun.
(j) Jika hujan turun maka air sungai meluap.

HUJAN

     Saat ini aku sedang berdiri ditiang tembok sekolah didepan kelas untuk diam sebentar mengalihkan pikiran yang sedang kacau tak lama hujan pun turun ya hujan..  tetesan air yang jatuh dari langit ke bumi tetesan air itu turun sedikit demi sedikit menjatuhi tanah yang kering ini…  Aku merasakan Bau tanah yang basah dan dedaunan yang basah  lama kelamaan menyeruak perlahan,intensitas hujanpun  terus bertambah seiiring dengan bau tanah yang basah dan dedaunan yang basah pun terasa lebih dalam lagi mempunyai arti tersendiri yang memberikan ketenangan hati dan pikiran…

      Hawa yang dingin dan sejuk perlahan menusuk tubuh ini suara hujan yang indah membuatku hanyut dalam perasaan yang sendu dan penuh dengan kegalauan juga keraguan  nyanyian hujan yang indah mengingatkanku pada masalaluku yang perih namun selalu kurindukan suara gemuruh petir yang keras memberikan warna tersendiri dedaunan dan bunga yang basah semakin indah dilihat setiap hujan aku teringat akan dirimu airnya yang menetes ketanah seakan membuka perlahan luka yang telah kukubur dalam-dalam dan rasa skit juga perih itu datang kembali dan menyesakkan dada ini seakan waktu berhenti berputar namun kau tetap indah dan sejuk…

    Sama seperti hujan terkadang dia membawa berkah dan terkadang dia membawa  musibah…

       Aku suka hujan walaupun itu membuatku teringat denganmu karena apa hujan itu memberikan ketenangan  hati,jiwa dan pikiran  membawaku untuk melupakan segenap kepenatan yang ada  dan satu hal lagi hujan membuatku rindu akan dirimu karena apa  karena hujan adalah dirimu aku ingin seperti kodok yang selalu ceria saat hujan datang dan menyambutnya dengan istimewa  tapi aku bukan kodok aku adalah aku yang hanya bisa menyambut hujan dengan senyum dan tangisan karena  aku hanya bisa merasakan hujan bukan memiliki hujan yang artinya aku hanya bias merasakan hadirmu tapi bukan memilikinya….

     Tetesan air hujan yang jatuh menetes ketubuh ini bagaikan sebuah sentuhan dan semangat kepadaku untuk selalu tetap berdiri tegar menjalani semua keadaan dengan tetap tenang…

Kata kata yang selalu ku ingat adalah..

Tersenyumlah walau hatimu menangis…                                                                                                                                                Tersenyumlah  walau hatimu hancur….                                                                                                                                                 Karena bila hujan datang bersama petir kau akan tetap  bisa bertahan….

Tersenyumlah disaat kau menderita…                                                                                                                                                Tersenyumlah  disaat kau terluka….                                                                                                                                                 Karena dengan begitu meski badai menghampiri kau akan tetap berdiri tegar walaupun dihantam ombak besar….

Dan menangislah bila itu membuat hatimu  tenang dan mengislah diantara hujan jika kau malu uintuk menangis… :D

by: Dzihni